Você sabia que, geometricamente falando, uma roda poderia não ser redonda?
Existem muitas outras figuras geométricas que poderiam servir como base para uma roda em vez de um círculo, tais como os chamados polígonos de Reuleaux, nomeados assim por causa do engenheiro alemão Franz Reuleaux, que, no século XIX, projetou mecanismos diversos envolvendo esse tipo de forma geométrica.
Mas, antes de explicar o que é um polígono de Reuleaux, vamos pensar um pouco sobre uma roda convencional, redonda. Como ela é? Que propriedade permite que ela gire suavemente, sem solavancos?
Uma roda convencional pode ser modelada, de forma simplificada, por um cilindro de base circular. Em um automóvel, por exemplo, as quatro rodas estão, duas a duas, conectadas por um eixo, que passa bem no centro das bases circulares dos cilindros que modelam as rodas. O que faz as rodas girarem suavemente é que a distância desses eixos a um chão aproximadamente plano é constante igual ao raio da roda.
Vamos considerar também uma espécie de veículo mais rudimentar, para simplificar um pouco nosso problema. Em vez de pares de rodas ligadas por eixos, vamos imaginar que tal veículo contenha rolos - que continuariam a ser modelados por cilindros de base circular, agora com maior distância entre as bases. (Aliás, o uso de rolos em vez de rodas pode ser a opção mais viável para o transporte de objetos muito pesados.) Tais rolos podem transportar suavemente, sem solavancos, objetos posicionados em uma plataforma ou esteira plana acima deles porque o diâmetro de suas bases é constante, afinal tais bases são circulares.
Considerando o que dissemos até aqui, a propriedade que faz um rolo girar suavemente, sem solavancos, é a largura constante de sua base - largura essa que, no caso de um círculo, é o diâmetro.
Você consegue imaginar outras figuras de largura constante?
Se puder, pare um pouquinho a leitura e pegue um papel e um compasso! Então, volte aqui e faça o seguinte:
Com uma abertura fixa do compasso, trace um arco qualquer.
Coloque a ponta seca em algum ponto do arco traçado anteriormente e, sem alterar a abertura inicial do compasso, trace mais um arco.
Marque a intersecção dos dois arcos assim obtidos.
Com a ponta seca do compasso na interseção marcada, trace, com a mesma abertura inicial, mais um arco, intersectando os dois anteriores.
Pronto? Você deve ter obtido uma figura parecida com um triângulo equilátero, mas que tem lados curvos. É o chamado triângulo de Reuleaux (sim, não é exatamente um triângulo; o nome se deve apenas à similitude).
O triângulo de Reuleaux é uma das muitas formas geométricas planas de largura constante. Isso significa que se "emparedarmos" um triângulo de Reuleaux entre duas retas paralelas tangentes a ele, a distância entre essas retas será sua largura constante. Por essa razão, rolos que tenham como base um triângulo de Reuleaux poderiam substituir perfeitamente os de base circular em uma esteira rolante! É o que ilustra a imagem a seguir.
Fonte da imagem: [1]
Na verdade, sempre que tomarmos um polígono regular com quantidade ímpar de lados, poderemos, usando um compasso, facilmente criar outras formas com essa mesma propriedade: os polígonos de Reuleaux (que também não são exatamente polígonos, mas recebem esse nome por se parecerem com eles).
Há muitas perguntas interessantes que podemos nos fazer a partir daqui! Vamos deixar algumas delas para os leitores se divertirem, comentando as respostas em um outro post.
Como podemos mostrar que a largura de um triângulo de Reuleaux é mesmo constante?
Se, em vez de rolo, considerássemos pares de rodas conectadas por eixos, mas que, em vez de redondas, tivessem triângulos de Reuleaux como base, funcionaria? Em que condições?
Seria possível ter uma bicicleta com rodas baseadas no triângulo de Reuleaux? Como?
Por que é possível construir polígonos de Reuleaux a partir de polígonos regulares de quantidade ímpar de lados? E como fazer esse tipo de construção?
Também é possível construir polígonos de Reuleaux a partir de polígonos regulares de quantidade par de lados? Por quê?
Há outras figuras de largura constante, mas que não podem ser construídas com base em um polígono regular?
Existem figuras tridimensionais de largura constante?
...
Gostou do tema? Para você se aprofundar e ter vislumbres de caminhos para responder a essas e a outras perguntas sobre o assunto, deixo como indicação o excelente vídeo do canal rad-head.
Aproveite!
Referências bibliográficas:
MELLO, José Luiz Pastore. Polígonos de Reuleaux e a generalização do Pi. in: Revista do Professor de Matemática nº 81. Disponível em: <https://www.rpm.org.br/cdrpm/81/9.html> Acesso em 04 out. 2022.
MATEMATECA IMEU-SP. Triângulo de Reuleaux. Disponível em <https://matemateca.ime.usp.br/acervo/triangulo_reuleaux.html> Acesso em 04 out. 2022.
ARTACHO, Amadeo. El Triángulo de Reuleaux. in: Matematicas cercanas, 28/04/2014. Disponível em: <https://matematicascercanas.com/2014/04/28/el-triangulo-de-reuleaux/> Acesso em 04 aout. 2022.
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