Anatomia de um algoritmo alternativo para a divisão
- Aline Matheus
- 26 de mai.
- 8 min de leitura
Atualizado: 27 de mai.
Hoje recebi da minha querida amiga Bárbara Born um vídeo mostrando um algoritmo diferente para realizar divisões. Ela queria saber se o algoritmo é mesmo válido, se faz sentido apresentá-lo às crianças ou não.
Algoritmo?
Antes de examinar o algoritmo em questão, acho que vale a pena nos debruçarmos sobre essa palavra: algoritmo. O termo — antes bastante hermético para a maioria das pessoas — hoje é fortemente associado à maneira como as redes sociais selecionam o conteúdo que nos é exibido. Para compreender do que vamos falar, precisamos, entretanto, ampliar esse conceito e devolvê-lo ao seu campo de origem, que, antes mesmo da computação, é a matemática.
Um algoritmo é uma sequência finita e organizada de instruções, regras ou passos destinados a resolver um problema, realizar uma tarefa ou transformar uma entrada em uma saída. De forma simples: um algoritmo é um “modo de fazer” suficientemente explícito para que alguém — uma pessoa ou uma máquina — consiga executar uma tarefa seguindo determinados passos.
O vídeo a seguir mostra uma experiência bem-humorada em que um pai — presumivelmente um programador — tenta explicar a seus filhos o que é um algoritmo. A dificuldade de formular instruções suficientemente precisas para fazer um sanduíche nos arranca gargalhadas, mas também deve nos alertar para a complexidade de sistematizar procedimentos aparentemente banais.
Toda a programação de computadores é baseada em algoritmos, porque é preciso “ensinar” à máquina, passo a passo, o que ela deve fazer. Mas a matemática está na origem da computação e, portanto, também dos algoritmos.
Quando você aprendeu a fazer cálculos aritméticos na escola, certamente aprendeu alguns deles. No caso da adição, por exemplo, as parcelas devem ser escritas uma abaixo da outra, alinhando os algarismos de mesma ordem — unidades com unidades, dezenas com dezenas, centenas com centenas e assim sucessivamente. Em seguida, inicia-se a soma pela coluna das unidades. O algarismo das unidades do resultado é registrado abaixo dela. Quando a soma produz um valor igual ou superior a dez, registra-se apenas o algarismo das unidades naquela posição e reagrupa-se a dezena excedente, acrescentando 1 à coluna imediatamente à esquerda. O mesmo procedimento é então repetido para as dezenas, centenas e demais ordens, até que todas as colunas tenham sido somadas.
Note: essa não é uma descrição absoluta de como se soma. Pode-se somar de muitas maneiras. Posso, por exemplo, somar 47 com 53 começando pelas dezenas — 40 + 50 = 90 — e, depois, pelas unidades — 7 + 3 = 10. Somando os resultados parciais, obtenho 100. Posso também decompor um dos números para facilitar a soma, assim: 47 + 53 = 47 + 3 + 50 = 50 + 50 = 100. Para todas as operações, há diversas estratégias possíveis.
Mas, quando organizamos um procedimento em um passo a passo sistemático e previamente definido, estamos usando um algoritmo. No âmbito da matemática, um algoritmo libera nossa mente para pensar em outras coisas — no sentido e na estrutura de um problema aplicado, por exemplo. Porque, para o cálculo em si, não precisamos quebrar a cabeça: já dispomos de um procedimento organizado para realizá-lo.
Porém, quando o que está em jogo é realmente desenvolver o pensamento aritmético, um algoritmo pode acabar sistematizando cedo demais algo que ainda não foi compreendido. Nesse caso, ele vira, muitas vezes, um passo a passo sem sentido. Algo mecânico — sobe, passa para a outra coluna, desce... tira, põe.
E quando realizamos mecanicamente uma tarefa, sem compreensão, acabamos sem parâmetros para tomar decisões em “casos especiais”. Por exemplo, a criança aprende que, na subtração, quando não houver unidades suficientes no minuendo para subtrair o que deseja, deve “emprestar” dez unidades da coluna das dezenas. Mas, se ela não compreender matematicamente o significado desse “empréstimo”, terá dificuldade quando precisar usar o algoritmo em casos nos quais o algarismo das dezenas do minuendo é zero.
Um algoritmo alternativo para a divisão
De todos os algoritmos aritméticos que ensinamos e aprendemos nos anos iniciais, o algoritmo tradicional da divisão é provavelmente o que costuma gerar maior dificuldade de compreensão. E é justamente um vídeo de um algoritmo alternativo para a divisão — aparentemente mais intuitivo — que minha amiga Bárbara me enviou.
Vamos, inicialmente, descrever o algoritmo por meio de alguns frames do vídeo, para deixar claro do que se trata.
Frame 1 – O algoritmo em questão é exemplificado — mas não explicado — com a divisão 6705 ÷ 3. O primeiro passo é escrever cada algarismo do dividendo em uma linha de uma tabela.
Frames 2 e 3 – Na segunda coluna, cada número passa a ser representado pictoricamente, por meio de pontinhos. Depois, os pontinhos são agrupados de 3 em 3 — porque o divisor é 3. No caso do 6, há dois grupos de três pontinhos e, por isso, registra-se o algarismo 2 no quociente. No caso do 7, também há dois grupos de três pontinhos, embora sobre 1. Assim, coloca-se outro 2 no quociente.
Frame 4 – Do pontinho que sobra na representação do 7 sai uma seta indicando a transformação da próxima linha: o 0 original passa a valer 10. Em seguida, procede-se da mesma forma: o 10 é representado pictoricamente e os pontinhos são agrupados de 3 em 3. Como há três grupos de três pontinhos, o próximo algarismo registrado no quociente será 3.
Frame 5 – O pontinho que sobra do 10, analogamente ao que aconteceu antes, transforma o valor da próxima linha de 5 para 15. Representa-se pictoricamente o 15 e conta-se novamente quantos grupos de três podem ser formados. Como são 5 grupos, registra-se o algarismo 5 no quociente, obtendo-se finalmente o resultado: 2235.
A anatomia do algoritmo
Acho que há três perguntas importantes a enfrentar sobre esse algoritmo alternativo:
Ele funciona? Isto é, leva sempre ao resultado correto?
Se funciona, por quê? Qual é sua lógica?
Ele facilita o aprendizado?
1. Ele funciona sempre?
Teoricamente, esse algoritmo funciona sempre. Mas ele se torna mais ineficiente à medida que o divisor aumenta. Veja o que acontece, por exemplo, se quisermos dividir 3648 por 12.
A necessidade de fazer agrupamentos de 12 em 12 — um valor relativamente alto — leva ao desenho de uma quantidade enorme de pontinhos. (Foram, ao todo, 91 pontinhos! Imagine se o divisor fosse 120...)
Não é confortável operar dessa forma com divisores grandes. Mas funciona.
2. Por que funciona?
O que acontece nesse algoritmo é análogo ao que ocorre no algoritmo tradicional da divisão. Operamos por meio de divisões parciais, tomando cada uma das ordens do dividendo separadamente, e fazendo a decomposição dos restos parciais no meio do caminho.
Retomando o exemplo do vídeo, começamos dividindo 6 unidades de milhar por 3. Quando desenhamos 6 bolinhas, cada uma delas está representando um milhar. As seis bolinhas são divididas por 3, usando o significado de cota ou medida, resultando em 2.
Isso merece uma atenção especial. Então, vamos fazer um parênteses.
Se você tem 6 balas para distribuir para três crianças, cada criança vai ficar com 2 balas. A operação matemática que modela essa situação é 6 : 3 = 2. Mas essa mesma operação também modela outra situação: você tem 6 balas e quer fazer pacotinhos com 3 balas. Nesse caso, você só poderá fazer 2 pacotinhos.
Veja que coisa bonita e curiosa! É a mesma divisão! Mas o significado é completamente diferente! Três grupos de 2 resulta no mesmo total que dois grupos de 3, mas são situações bem diferentes... Num caso, dividimos o 6 em 3 partes iguais, no outro dividimos o 6 em cotas de "tamanho" 3.
Quando, para dividir 6 bolinhas por 3, elas são agrupadas de 3 em 3, o significado da divisão que está sendo ativado dentro do algoritmo é justamente o de cota ou medida. Isso é muito bom para dividir as bolinhas, porque não é preciso adivinhar a resposta com base na tabuada, nem nada assim. Simplesmente vou agrupando bolinhas de acordo com o divisor.
Porém, do ponto de vista do significado, a coisa complica um pouco. Afinal, não estamos dividindo 6 por 3, mas 6 unidades de milhar por 3 (isto é, 6000 por 3). E é claro que o 3 não cabe apenas duas vezes dentro de 6 mil. Na verdade, o 3 cabe duas mil vezes dentro de 6 mil. Mas, assim como no algoritmo tradicional, você não precisa se preocupar com isso. Fazendo tudo direitinho, o 2 que é colocado lá no quociente, ao fim do processo, vai ocupar justamente a casa das unidades de milhar.
O mesmo processo se repete em cada ordem do dividendo, cada uma ocupando uma linha. Com um porém. Em alguns casos, como no das 7 centenas, a divisão por 3 não é exata. Nesse caso, a sobra é decomposta numa unidade imediatamente inferior, como também ocorre no algoritmo tradicional.
Quando são desenhadas 7 bolinhas na segunda linha, agora cada bolinha representa uma centena. Ao realizar a divisão por 3, obtemos 2, mas sobra uma bolinha, ou seja: uma centena. Essa centena que sobra é reorganizada como 10 dezenas, indo para a linha de baixo, das dezenas. E, como havia zero dezenas nessa inicialmente, ficam apenas essas 10 dezenas oriundas da divisão parcial anterior.
Assim, cada uma das dez bolinhas desenhadas na terceira linha representa agora uma dezena. Ao dividir tais bolinhas por 3, obtemos 3 e ainda sobra uma. Novamente, essa sobra, agora uma dezena, é decomposta em 10 unidades, indo se juntar às 5 unidades que já havia na quarta linha. Assim, dividimos finalmente 15 unidades por 3, obtendo 5. Por isso, o 5 ocupa a coluna das unidades no quociente.
Em resumo, a lógica por detrás do algoritmo, exatamente a mesma do algoritmo tradicional, é decompor o dividendo - 6705 = 6000 + 700 + 00 + 5 - e ir dividindo cada uma dessas parcelas, cuidando de decompor e juntar os restos parciais à ordem imediatamente inferior.
A principal diferença com relação ao algoritmo tradicional é a representação do processo, que, nesse caso, é híbrida: numérica e pictórica.
3. Ele facilita o aprendizado?
Notem que não é lá muito fácil descrever verbalmente o que acontece em cada passo do algoritmo... Ele não é mais simples de compreender que o algoritmo tradicional, embora o registro pictórico forneça um apoio significativo para a realização das divisões parciais.
Também vale salientar que, como vimos, esse algoritmo é pouco eficiente para números grandes.
Espiando os comentários do vídeo no Instagram (selecionei só alguns), notamos que as percepções divergem:
Parece-me que, para divisores pequenos e por causa da representação pictórica, o algoritmo que a Bárbara me enviou pode ajudar as crianças a compreender a lógica do procedimento. Mas, depois, continua sendo importante aprender o algoritmo tradicional — que tem funcionalidade mais abrangente.
O mais importante, porém, na minha opinião, é termos em mente que a compreensão da lógica do algoritmo continua sendo necessária — e desafiadora. Sem essa compreensão, eu não poderia, por exemplo, ter sabido o que fazer ao usar o procedimento para dividir 3648 por 12. Especialmente no passo da divisão parcial das 4 dezenas por 12, foi necessário colocar um zero no quociente. Sem compreensão, eu poderia facilmente ter ignorado isso e obtido 34 em vez de 304.
Também é importante salientar que aprender uma operação não é aprender um algoritmo, mas compreender os sentidos e utilidades dessa operação, conhecer múltiplas estratégias para realizá-la e saber usar alguns algoritmos com compreensão — sem necessariamente se limitar a um deles.
Especialmente num mundo em que praticamente todos nós temos uma calculadora no bolso a todo momento, a compreensão da lógica do algoritmo é mais relevante do que sua simples execução. É por meio desse tipo de compreensão que as crianças podem desenvolver um pensamento aritmético mais profundo e flexível.
Créditos: O vídeo original que recebi pode ser acessado aqui:
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