O tabuleiro de xadrez mutilado

Esse problema é muito conhecido. E, justamente por isso, nesse mar de informação que é a internet, eu às vezes me pergunto: para que escrever sobre isso? Já tem tanta coisa por aí! Mas a verdade é que eu escrevo neste blog por prazer. Então... eu amo esse problema! E isso já é motivo suficiente para querer falar sobre ele.

O problema é o seguinte:

Suponha que um tabuleiro de xadrez padrão, de 8 × 8 casas, tenha dois cantos diagonalmente opostos removidos, restando 62 casas. É possível posicionar 31 peças de dominó, de tamanho 2 × 1, de modo a cobrir todas essas casas?

Antes de continuar lendo, recomendo de verdade: pegue um papel quadriculado, desenhe seu tabuleiro mutilado e tente resolver o problema.

Isso fará o restante da leitura ser muito mais significativo.

Se você tentou com algum afinco, provavelmente em algum momento teve esperanças. Ia tudo muito bem, os dominós se encaixavam, o tabuleiro ia sendo preenchido e... poxa! No final, sobravam duas casas descobertas.

Você tenta de novo.

Quase.

Mais uma vez.

Quase!

Tentativas frustradas...

Por que será?

Talvez você não tenha começado bem. Talvez o problema tenha sido uma escolha ruim que você fez no meio do caminho. Quem sabe aquele dominó que você colocou na vertical devesse ter sido colocado na horizontal? São tantas pequenas decisões que parece perfeitamente possível que exista uma solução e que você simplesmente ainda não tenha encontrado a sequência certa.

Você poderia, então, tentar organizar melhor as possibilidades. Testar sistematicamente diferentes posições. Voltar atrás sempre que uma escolha levar a um beco sem saída. Criar algum método para não repetir tentativas.

Mas pensar matematicamente não significa necessariamente criar métodos cada vez mais eficientes para gerenciar uma enorme quantidade de informação — embora, às vezes, seja exatamente isso. Muitas vezes, pensar matematicamente significa encontrar outra maneira de olhar para o problema.

Antes de voltarmos ao tabuleiro, quero dar um exemplo muito simples disso, usando algo que todo mundo já aprendeu a fazer. Imagine que você precise calcular mentalmente:

64 − 37

Uma possibilidade é tentar reproduzir mentalmente o algoritmo usual da subtração: organizar as dezenas e unidades, fazer a troca, lembrar o que aconteceu em cada coluna... Funciona, claro. Mas exige manter algumas informações simultaneamente na memória de trabalho. E nossa memória de trabalho é bastante limitada. Isso não muda só porque alguém é bom em matemática.

Uma alternativa é transformar o cálculo:

64 − 34 = 30

Esse resultado é imediato. Mas retiramos 3 unidades a menos do que deveríamos. Então compensamos:

30 − 3 = 27

O problema continua sendo exatamente o mesmo. O que mudou foi a maneira de enxergá-lo.

Essa é uma ideia importante: diante de uma dificuldade, pensar matematicamente muitas vezes não significa simplesmente pensar mais, fazer mais força ou administrar uma quantidade maior de informações. Significa pensar diferente.

É por isso que matemática e criatividade têm tudo a ver!

Voltemos, então, ao tabuleiro de xadrez mutilado.

Talvez você tenha feito suas tentativas em um papel quadriculado comum, sem colorir as casas. Afinal, para encaixar os dominós, a coloração parece completamente irrelevante. Mas é justamente ao considerar a coloração que acontece uma mudança de perspectiva.

Vamos recuperar uma característica que havíamos ignorado: um tabuleiro de xadrez usual tem casas de duas cores, alternadamente.

No tabuleiro completo, são 64 casas:

• 32 de uma cor — digamos, beges;

• 32 da outra — digamos, marrons.

Agora observe os dois cantos que retiramos. Como são cantos diagonalmente opostos, eles têm a mesma cor.

Portanto, ao retirar essas duas casas, não ficamos simplesmente com 62 casas. Ficamos, mais especificamente, com: 32 casas de uma cor e 30 casas da outra. Essa informação muda tudo.

Um dominó colocado sobre o tabuleiro cobre duas casas vizinhas. Mas casas vizinhas em um tabuleiro de xadrez têm sempre cores diferentes. Portanto, todo dominó, independentemente de onde seja colocado, cobre exatamente uma casa bege e uma casa marrom.

Esse é o ponto decisivo. Se colocarmos um dominó, cobrimos uma bege e uma marrom. Se colocarmos dois, cobrimos duas beges e duas marrons. Se colocarmos dez, cobrimos dez beges e dez marrons. E, se conseguíssemos colocar os 31 dominós necessários para cobrir as 62 casas, teríamos necessariamente coberto: 31 casas beges e 31 casas marrons.

Mas nosso tabuleiro mutilado não tem 31 de cada. Ele tem 32 de uma cor e 30 da outra.

Portanto, não importa como comecemos. Não importa quais dominós coloquemos na horizontal ou na vertical. Não importa se somos mais cuidadosos, se planejamos melhor ou se tentamos milhares de configurações diferentes.

É impossível cobrir esse tabuleiro com 31 dominós.

E repare no que aconteceu. No início, tínhamos um problema aparentemente sobre encaixes. Parecia que precisávamos descobrir onde colocar cada peça e administrar uma quantidade enorme de possibilidades.

A solução aparece quando deixamos de olhar para as posições individuais dos dominós e passamos a observar uma propriedade que permanece verdadeira em qualquer configuração possível: cada dominó cobre uma casa de cada cor.

De repente, milhares de tentativas possíveis deixam de importar. Não precisamos examiná-las uma por uma. Encontramos uma característica comum a todas elas. E é exatamente isso que torna esse problema tão bonito.

Segundo a Wikipedia, o problema do tabuleiro de xadrez mutilado foi proposto pelo filósofo Max Black, em seu livro Critical Thinking, publicado em 1946. Black o utilizou justamente para discutir como uma mudança de perspectiva pode ser decisiva diante de um problema.

E acho que é por isso que gosto tanto do problema do tabuleiro de xadrez mutilado. À primeira vista, parece um problema sobre dominós. Depois, parece um problema sobre tentativa e erro. Talvez pareça até um problema sobre ter paciência suficiente para encontrar a configuração certa... Mas não é nada disso. A dificuldade desaparece quando percebemos que a informação decisiva estava diante dos nossos olhos o tempo inteiro: as cores do tabuleiro.

Nem sempre é preciso pensar "duro", apenas olhar de modo diferente!