Por que, afinal, “mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda”?

Para dividir duas frações, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda! Quase toda gente que estuda matemática aprende isso... Mas a pergunta é: por quê?

Antes de justificar por que esse algoritmo funciona, vamos nos debruçar sobre o próprio significado da divisão entre frações.

Dividir ½ por 3 é algo intuitivo: tomamos a metade de um inteiro e a repartimos em três partes iguais. Com auxílio de uma representação pictórica, é fácil perceber que isso equivale a 1/6.

Figura 1 – Representação de ½ dividido por 3

Mas que sentido teria uma divisão como 9/4 ÷ 3/8, por exemplo? A ideia de repartir em partes iguais não dá conta dessa situação. Aqui, precisamos ativar outro significado da divisão: quantas vezes um número cabe dentro de outro.

Quando os números representam grandezas, esse significado se torna mais tangível. Imagine que temos uma tira de tecido com 9/4 de metro, e queremos cortá-la em pedaços de 3/8 de metro. A pergunta que fazemos é: quantas tiras menores cabem dentro da maior?

Não é difícil perceber que resolver esse problema equivale a calcular 9/4 ÷ 3/8. Podemos até representar isso visualmente. Com um pouco de atenção, vemos que é possível obter exatamente 6 pedaços de 3/8 a partir da tira maior.

Figura 2 – Representação de 9/4 dividido por 3/8

Agora, imagine que a tira maior tivesse 5/2 metros, mantendo o mesmo tamanho para as tiras menores (3/8 m). Nesse caso, as tiras menores não caberiam uma quantidade exata de vezes na tira maior. A resposta seria 20/3, ou seja, pouco mais de 6,5 vezes.

Esse tipo de situação mostra que, embora o significado de "quantas vezes cabe" nos ajude a compreender o problema, nem sempre é prático resolver cada caso por desenho ou tentativa. É aí que entra o algoritmo: manter a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Mas por que isso dá certo?

A justificativa do algoritmo

Vamos pensar na divisão de frações como uma equação. Ao escrever:

...estamos procurando um número x tal que:​

  Ou seja, queremos descobrir que número multiplicado por 3/8 resulta em 9/4. Para resolver essa equação, fazemos o que sempre se faz para isolar o x: multiplicamos os dois lados pelo inverso de 3/8, que é 8/3:

E é exatamente o que diz o algoritmo!

Portanto, "multiplicar pelo inverso" não é mágica nem truque, mas simplesmente uma maneira de resolver a equação associada ao problema da divisão. O procedimento padronizado é apenas um atalho confiável para responder rapidamente à pergunta: quantas vezes essa fração cabe naquela?