Como surgiram os logaritmos?

Já comentei em um outro post que, quando eu cursei o Ensino Médio, fiquei com uma dúvida sobre os logaritmos: se um logaritmo é um expoente, por que precisamos dele? Para quê dar dois nomes e dois tratamentos para uma mesma ideia?

Antes de responder a essas perguntas, vamos esclarecer a noção de logaritmo para o leitor que não está familiarizado. Considere a equação a seguir:

Nessa equação, estamos interessados em descobrir qual é o expoente ao qual o dez deve ser elevado para obter o número 3. Esse expoente recebe o nome de logaritmo de 3 na base 10. Ou, simplesmente, no caso da base 10, logaritmo decimal de 3.

Estão começando a entender a dúvida da minha adolescência? O logaritmo nada mais é que um expoente que, eventualmente, queremos calcular. Então porque não dizer apenas isso? Para quê essa palavra nova, logaritmo?

Bom... A palavra logaritmo é nova para o aluno do Ensino Médio, que usualmente, estudou primeiro a potenciação e já conhece as palavras potência, expoente e base. Mas, na realidade, na história da matemática, os logaritmos surgiram antes da noção moderna de potenciação.

Os logaritmos foram criados pelo matemático escocês John Napier por volta de 1614, para simplificar cálculos complexos, numa época em que não existiam calculadoras ou computadores. O conceito foi posteriormente aprimorado pelo inglês Henry Briggs.

Vejamos como funcionava a artimanha facilitadora de cálculos proporcionada pelos logaritmos. Vamos construir uma tabela, de modo que, na coluna da esquerda, tenhamos uma progressão geométrica de razão qualquer, por exemplo, 7. Na coluna da direita, vamos colocar uma progressão aritmética de razão qualquer também, tal como 2.

Essa tabela tem propriedades muito interessantes. Por exemplo, suponha que você queira multiplicar 49 por 2.401. Hoje em dia, você tem uma calculadora sempre à mão, no seu celular, e pode descobrir em segundos que 49 x 2.401 resulta em 117.649 - uma potência de 7 que se encontra na sexta linha da nossa tabela.

Mas lá em meados do século XVII esse tipo de cálculo tomava muito tempo, pois eram muitos os cálculos requisitados no comércio, na astronomia e na navegação, e não havia calculadora.

E é aí é que a coisa começa a ficar interessante: vejamos o que se passa na coluna da direita da nossa tabela.

A exemplo do que fez Napier, diremos que o 4 é o número lógico ou o logaritmo de 49 e que o 8 é o número lógico ou logaritmo de 2.401 nessa tabela. O resultado de 49 x 2.401, que é 117.649, está na mesma linha da tabela que o resultado de 4 + 8, que é 12. Isso não é uma coincidência! Essa tabela permite fazer adições em vez de multiplicações.

Experimente: tente descobrir o resultado de 343 x 16.807 usando a mesma artimanha. Nessa tabela, o logaritmo de 343 é 6 e o de 16.807 é 10. Em vez da multiplicação desejada, podemos fazer 6 + 10 = 16, que, nessa tabela, é o logaritmo de 5.764.801. Logo 343 x 16.807 = 5.764.801.

Da mesma forma, essa tabela nos permite trocar divisões por subtrações. Por exemplo, se você quer dividir 823.543 por 16.807, basta fazer 14 - 10 = 4. Como 4 é o logaritmo de 49 nessa tabela, isso implica que 823.543 : 16.807 = 49.

Mágico, não? Isso funciona sempre que colocarmos qualquer PG e qualquer PA lado a lado, desde que as razões de uma e de outra estejam alinhadas (7 e 2, no caso do nosso exemplo).

Mas, já que a PA é apenas auxiliar, por que não tornar tudo ainda mais simples? Basta tomarmos sempre uma PA de razão 1:

Dessa forma, nessa tabela (de base 7), o logaritmo de 7 é 1, o de 49 é 2, o de 343 é 3... Justamente o que hoje chamamos de expoente da potência de 7, mas cuja notação não existia à epoca.

Algumas bases eram mais úteis do que outras para os cálculos da época, tal como a base 10. E os matemáticos usaram procedimentos de interpolação para obter logaritmos não inteiros, chegando a tabelas bastante completas, que foram muito utilizadas até o advento e a popularização das calculadoras científicas:

Na tabela acima, temos aproximações, mas continua valendo a mesma lógica. Se queremos, por exemplo, dividir 99 por 33, isso equivale a fazer 1,995635 - 1,518514, que resulta em 0,477121 - de fato correspondente ao 3, resultado de 99 : 33. (Você pode estar pensando: é mais fácil dividir 99 por 3 do que fazer essa subtração. Sim, porque peguei um exemplo que pudéssemos conferir facilmente, mas, em geral, divisões são mais complexas e demandam mais tempo para serem realizadas.) Hoje em dia, não usamos mais os logaritmos para facilitar os cálculos diários. Ao longo do tempo, outras aplicações foram sendo percebidas e, atualmente, as propriedades dos logaritmos são muito úteis para que possamos resolver equações exponenciais provenientes de vários contextos, tais como matemática financeira, crescimento populacional, modelagem de fenômenos físicos etc. Mas vale saber que, a cada vez que apertamos o botão log numa calculadora científica moderna, estamos nos apoiando em uma longa história de engenhosidade humana — uma ponte entre a aritmética manual e a álgebra moderna.